Модель ценообразования европейских опционов для всех распределений

Мы можем создать собственную модель ценообразования, лишенную каких-либо предположений относительно распределения изменений цены.

Сначала необходимо определить термин «теоретически справедливый», отно- сящийся к цене опционов. Мы будем говорить, что опцион справедливо оценен, если арифметическое математическое ожидание цены опциона к моменту истече- ния, выраженное на основе его текущей стоимости, не принимает во внимание возможного направленного движения цены базового инструмента. Смысл определе- ния таков: «Какова стоимость данного опциона для меня сегодня как для покупателя опционов»?

Математическое ожидание (арифметическое) определяется из уравнения (1.3):

i =1 Математическое ожидание = å (pi * ai),

где        pi — вероятность выигрыша или проигрыша попытки i; ai — выигранная или проигранная сумма попытки i;

N — количество возможных исходов (попыток).

Математическое ожидание представляет собой сумму произведений каждого возможного выигрыша или проигрыша и вероятности этого выигрыша или про- игрыша. Когда сумма вероятностей рi больше 1, уравнение (1.3) необходимо раз- делить на сумму вероятностей рi.

Рассмотрим все дискретные изменения цены, которые имеют вероятность осуществления, большую или равную 0,001 в течение срока действия контракта, и по ним определим арифметическое математическое ожидание:

С =  å(pi  * ai) / åpi, (5.10) где С — справедливая с теоретической точки зрения стоимость опциона,

или арифметическое математическое ожидание;

pi — вероятность цены i по истечении срока опциона;

ai — внутренняя стоимость опциона (для колл-опциона: рыночная цена инструмента минус цена исполнения опциона; для пут-опциона: цена ис- полнения минус рыночная цена инструмента), соответствующая базовому инструменту при цене i.

Использование этой модели подразумевает, что, начиная с текущей цены, мы будем двигаться вверх по 1 тику, суммируя значения как в числителе, так  и в знаменателе до тех пор, пока вероятность i-й цены (т. е. рi) не будет меньше 0,001 (вы можете использовать меньшее число, но я считаю, что 0,001 вполне достаточно).

Затем, начиная со значения, которое на 1 тик ниже текущей цены, мы будем двигаться вниз по 1 тику, суммируя значения как в числителе, так и в знаменателе, пока вероятность i-й цены (т. е. рi) не будет меньше 0,001. Отметьте, что вероятности, которые мы используем, являются 1-хвостыми, иными словами, если вероятность больше чем 0,5, мы вычитаем это значение  из 1.

Интересно отметить, что значения вероятности рi можно менять в зависимости от того, какое распределение применяется, и оно необязательно должно быть  нормальным, т. е. пользователь может получить теоретически справедливую цену опциона для любой формы распределения!

Таким образом, эта модель дает возможность использовать устойчивое распределение Парето, t-распределение, распределение Пуассона, собственное регулируемое распределение или любое другое распределение, с которым, по нашему мнению, согласовывается цена при опре- делении справедливой стоимости опционов.