Второй пример: быстрая сортировка

Рандомизированный метод «разделяй и властвуй», который использовался для нахождения медианы, также заложен в основу алгоритма быстрой сортировки. Как и прежде, мы выбираем разделитель для входного множества S и разбиваем S по элементам со значениями ниже и выше разделителя.

Различие в том, что вместо поиска медианы только с одной стороны от разделителя мы рекурсивно сортируем обе стороны и соединяем два отсортированных фрагмента (с промежуточным разделителем) для получения общего результата. Кроме того, необходимо явно включить базовый случай для рекурсивного кода: рекурсия используется только для множеств с размером 4 и более. Полное описание алгоритма быстрой сортировки приведено ниже.

Quicksort(S):

Если |S| ≤ 3

Отсортировать S

Вывести отсортированный список Иначе

Случайно выбрать разделитель ai Ѯ S с равномерным распределением Для каждого элемента aj множества S

Включить  aj  в  множество  S −, если  aj  < ai

Включить  aj  в  множество  S +, если  aj  > ai

Конец цикла

Рекурсивно вызвать Quicksort(S −) и Quicksort(S +)

Вывести отсортированное множество S −,

затем ai и отсортированное множество S +

Конец Если

Как и в случае с нахождением медианы, время выполнения этого метода в худшем случае не впечатляет. Если всегда выбирать в качестве разделителя наименьший элемент, но время выполнения T(n) для n-элементных множеств определяется уже знакомым рекуррентным отношением: T(n) ≤ T(n – 1) + cn, так что в итоге приходим к границе  (худшее время быстрой сортировки из всех возможных).

С другой стороны, если при каждой итерации в качестве разделителя выбирается медиана каждого множества, то получается рекуррентное отношение T(n) ≤ 2T(n/2) + cn, часто встречавшееся при анализе алгоритмов «разделяй и властвуй» главы 5; время выполнения в этом случае составляет O(n log n).

Сейчас нас интересует ожидаемое время выполнения; мы покажем, что оно может быть ограничено величиной O(n log n) — почти такой же, как в лучшем случае при выборе разделителей идеально по центру. Наш анализ быстрой сортировки достаточно близко воспроизводит анализ нахождения медианы.

Как и в процедуре Select, использованной при поиске медианы, ключевую роль играет определение центрального разделителя — разделяющего множество так, чтобы каждая сторона содержала не менее четверти элементов. 

Идея заключается в том, что случайный выбор с большой вероятностью приведет к центральному разделителю, а центральные разделители работают эффективно. В случае сортировки центральный разделитель разбивает задачу на две существенно меньшие подзадачи.